ファン・デル・ポール振動子

ẍ + ε ẋ(x² − 1) + x = 0
相平面 (x, ẋ)
時系列 x(t)
パラメータ ε 0.50
実測振幅 (max |x|) ---
理論値(≈2) 2.00
√ε でスケールした振幅 ---
理論値(2√ε) ---

スケーリング則の検証

x の振幅: ≈ 2(ε によらず一定)
u = √ε · x の振幅: ≈ 2√ε(Hopf則に従う!)
例題 8.4.1 のポイント:
一見、振幅が ε によらず ≈2 なので Hopf のスケーリング則 O(√ε) に反するように見える。

しかし u = √ε · x と変数変換すると、u の振幅は 2√ε となり、Hopf 分岐のスケーリング則と一致する