ジョセフソン接合とヒステリシス

支配方程式（Strogatz 8.5節）

(1/βc)φ'' + φ' + sin φ = i

φ: 位相差、βc: McCumberパラメータ（慣性）、i = I/Ic: 正規化電流

1階系に書き直すと：

φ' = y,   y' = βc(i − sin φ − y)

βc > 1: 減衰不足（ヒステリシスあり）
βc < 1: 過減衰（ヒステリシスなし）

相図（円筒を展開）

φ-y 相平面
安定固定点
サドル点
軌道
電流 I 0.50
McCumber βc 2.00
固定点あり（I < 1）
固定点 φ*
0.52
状態
シンク

ヒステリシス現象

βc > 1（減衰不足）のとき、電流 i を上下させるとヒステリシスが生じる：

I を増加: I = 1 でサドルノード分岐 → 振動状態にジャンプ

I を減少: I < 1 でもリミットサイクルが持続 → I_c でホモクリニック分岐

振り子アナロジー

この方程式は駆動された減衰振り子と同じ：

I > 1 では振り子を支えきれず、回転運動（リミットサイクル）が生じる