最も単純な離散力学系の一つ。1次元写像でありながらカオスを示す
xn ∈ [0, 1]: 個体数（正規化）、r: 成長率パラメータ
| 周期 | 分岐点 rn | δn = (rn-rn-1)/(rn+1-rn) |
|---|---|---|
| 1 → 2 | r1 = 3.0 | — |
| 2 → 4 | r2 ≈ 3.449 | — |
| 4 → 8 | r3 ≈ 3.544 | 4.751 |
| 8 → 16 | r4 ≈ 3.564 | 4.656 |
| ∞（カオス） | r∞ ≈ 3.5699... | → δ = 4.669... |
δ = 4.669201609...（Feigenbaum定数）
驚くべきことに、この定数は写像の詳細によらず普遍的：
これは繰り込み群の考え方で説明される（Strogatz 10.7節）
10.0節: 1次元写像の導入
10.1節: 固定点と安定性（|f'(x*)| < 1）
10.3節: ロジスティック写像の詳細分析
10.4節: 周期窓、カオスの中の秩序
10.6節: Feigenbaum定数と普遍性
8.7節: ポアンカレ写像（連続系→離散系）
| r の範囲 | 振る舞い | 安定性条件 |
|---|---|---|
| 0 < r < 1 | 絶滅（x → 0） | x* = 0 が安定 |
| 1 < r < 3 | 固定点に収束 | |f'(x*)| < 1 |
| 3 < r < 3.449... | 周期2軌道 | |(f∘f)'| < 1 |
| 3.449... < r < 3.57... | 周期 2n 軌道 | 周期倍分岐カスケード |
| r > 3.5699... | カオス（+ 周期窓） | 正のLyapunov指数 |
| r > 4 | 発散 | x が [0,1] を脱出 |