古典Lotka-Volterra：中心点と保存量

モデル方程式（1925-1926）

dx/dt = αx − βxy

dy/dt = δxy − γy

x: 被食者（ウサギ）、y: 捕食者（キツネ）

α: 被食者成長率、β: 捕食率、δ: 捕食者成長率、γ: 捕食者死亡率

相図

x-y 相平面

中心点（非孤立）

サドル（原点）

閉軌道

初期被食者 x₀ 1.50

初期捕食者 y₀ 1.00

保存量 H(x, y)

H = 1.234

H = δx + βy − γ ln x − α ln y

時系列

個体数の時間変化

被食者 x

捕食者 y

現在 x

1.50

現在 y

1.00

周期 T

≈ 6.3

なぜリミットサイクルではないのか？

古典LVの閉軌道は中心点を囲む閉曲線の連続体であり、

リミットサイクル（孤立した閉軌道）ではない！

初期条件が違えば、異なる閉軌道に乗る
近傍の軌道に「引きつけられる」ことはない
これは保存系（ハミルトン系）の特徴

構造不安定性

この系は構造不安定である：

わずかな摂動（例：減衰項）で中心点がスパイラルに変わる
閉軌道が消滅する → Rosenzweig-MacArthur モデルへ
現実の生態系では純粋な中心点は稀

Strogatz との接続

6.4節: 古典LVの解析、閉軌道の存在証明

6.5節: 保存系とハミルトン系

7.2節: Bendixson判定法（閉軌道の非存在条件）

5章: 中心点 vs 安定/不安定スパイラル

Bendixson判定法

∂f/∂x + ∂g/∂y = (α − βy) + (δx − γ)

この値は符号が一定ではないため、Bendixsonの判定法は適用できない。

→ 閉軌道の存在を「否定できない」（実際に存在する）