LV競争方程式：固定点と多様体

モデル方程式

dx/dt = x(r₁ − x − α₁₂y)
dy/dt = y(r₂ − α₂₁x − y)

x, y: 2種の個体密度、r: 成長率、α: 種間競争係数

同じ資源を奪い合う2種の競争をモデル化

相図

x-y 相平面
安定ノード
サドル点
不安定ノード
x-ヌルクライン
y-ヌルクライン
種間競争 α₁₂ (y→xへの影響) 0.50
種間競争 α₂₁ (x→yへの影響) 0.50
共存安定（両種が共存）

固定点の分類

固定点 座標 タイプ 安定性
原点 (0, 0) 不安定ノード 不安定
X軸上 (r₁, 0) サドル 不安定
Y軸上 (0, r₂) サドル 不安定
内部 (x*, y*) --- ---

4つの競争結果

条件
α₁₂ < 1, α₂₁ < 1
結果
共存
Strogatz との接続

5章: 固定点の分類（ノード、サドル、スパイラル）

6章: ヌルクライン、安定多様体・不安定多様体

6.4節: 競争方程式の完全解析

多様体の役割

双安定の場合、サドル点の安定多様体が「分水嶺」となる：

初期条件が「どちら側か」で最終結果が決まる！