離散Lotka-Volterra：カオスへの道

離散化した被食-捕食モデル（Hassell-May型）

x_{n+1} = x_n · exp(r(1 − x_n/K) − a·y_n)
y_{n+1} = y_n · exp(b·x_n − c)

被食者に環境収容力 Kを導入。r を大きくすると周期倍分岐→カオス

アトラクター（相空間）

xₙ vs yₙ
固定点
周期軌道/カオス
成長率 r（分岐パラメータ） 2.00
固定点（安定）
現在 xₙ
1.00
現在 yₙ
1.00
反復回数 n
0

分岐図（r vs x）

横軸：r、縦軸：アトラクターの x 値

時系列

n vs xₙ
周期倍分岐ルート（Feigenbaum）

r を増加させると：

  1. 固定点 → 安定な共存状態
  2. 周期2 → 2年周期の個体数変動
  3. 周期4 → 4年周期
  4. 周期8, 16, 32... → 周期倍分岐カスケード
  5. カオス → 非周期的、予測不可能！

Feigenbaum定数 δ ≈ 4.669...：連続する分岐点の比が普遍定数に収束

Strogatz との接続

10章: 1次元写像と周期倍分岐

10.3節: ロジスティック写像（1次元版）

10.6節: Feigenbaum定数と普遍性

8.7節: ポアンカレ写像（連続系→離散系）

なぜ離散系でカオスが起きるのか？

Poincaré-Bendixson定理は2次元連続系に適用される。

離散系（写像）ではこの制約がない：