📐 Strogatz 8.7節：ポアンカレ写像

1. ポアンカレ写像とは？

連続時間の微分方程式を離散時間の写像に変換する強力な手法。

アイデア：流れに「ストロボを当てる」

xn+1 = P(xn)
P: S → S がポアンカレ写像

2. 連続系と離散系の対応

連続系（微分方程式）
閉軌道（周期解）
⟺
離散系（写像）
固定点 P(x*) = x*
連続系 離散系（ポアンカレ写像）
周期軌道 固定点
周期軌道の安定性 固定点の安定性
周期軌道の分岐 写像の分岐
n次元の流れ (n-1)次元の写像
次元削減の威力：3次元の流れ → 2次元の写像 → 解析が楽に！

3. 特性乗数（フロケ乗数）

周期軌道の安定性は、線形化したポアンカレ写像の固有値で決まる。

un+1 = [DP(x*)] un
DP(x*) = ヤコビ行列、u = x* からの微小摂動

固有値 λ（特性乗数）による安定性判定

|λ| の値 周期軌道の安定性
すべて |λ| < 1 安定（摂動が減衰）
いずれか |λ| > 1 不安定（摂動が成長）
|λ| = 1 境界的（分岐点）
注意：周期軌道に沿う方向への摂動（時間並進）に対応する自明な乗数 λ = 1 は常に存在するが、これは無視する。

4. デモ1：ポアンカレ断面の概念

3次元空間で周期軌道を横切る断面 S を設置。軌道が S を通過するたびに点を打つ。

周期軌道とポアンカレ断面（概念図）
断面通過回数
0
断面上の点
---

5. 例題 8.7.1：極座標系のリミットサイクル

ṙ = r(1 − r²),   θ̇ = 1

r = 1 に安定なリミットサイクルを持つ。周期 T = 2π。

ポアンカレ写像の導出

断面 S: θ = 0（正の x 軸）を選ぶ。

ṙ = r(1 − r²) を解くと：
rn+1 = P(rn) = [1 + e−4π(rn−2 − 1)]−1/2

固定点と特性乗数

6. デモ2：例題 8.7.1 の可視化

初期値 r₀ 0.50
相平面 (x, y)
ポアンカレ写像 P(r)
帰還点列 r₀, r₁, r₂, ... （断面 S 上の点）
リミットサイクルは安定（λ = e⁻⁴π ≈ 0）
現在の r
0.50
固定点 r*
1.000
特性乗数 λ
3.5×10⁻⁶

7. デモ3：パラメータ付きの系

ṙ = r(μ − r²),   θ̇ = 1

μ > 0 のとき r = √μ にリミットサイクル。μ の値で安定性の強さが変わる。

パラメータ μ 1.00
初期値 r₀ 0.50
相平面
クモの巣図
固定点 r* = √μ
1.000
特性乗数 λ
---

8. まとめ：なぜポアンカレ写像が重要か

カオスとの接続
ポアンカレ写像が「折り返す」（非単調になる）と、カオスが生まれる可能性がある。 これは8.6節のトーラス崩壊とも関連する重要なテーマ。