解析する2次元連続力学系を定義する：
物理的意味: 2種の競争系。x, y は種の個体数密度。
固定点 (x*, y*) は ẋ = 0 かつ ẏ = 0 を満たす点：
| 固定点 | x* | y* | 物理的意味 |
|---|---|---|---|
| P₁ | 0 | 0 | 両種絶滅 |
| P₂ | 3 | 0 | 種xのみ生存 |
| P₃ | 0 | 2 | 種yのみ生存 |
| P₄ | 1 | 1 | 共存 |
系を線形化するために、ヤコビ行列（偏微分の行列）を計算：
各固定点 (x*, y*) の座標をヤコビ行列に代入：
2×2行列の固有値は、トレースと行列式から簡単に求まる：
| 固定点 | τ (trace) | Δ (det) | τ² - 4Δ | λ₁ | λ₂ |
|---|---|---|---|---|---|
| P₁(0,0) | 5 | 6 | 1 > 0 | 3 | 2 |
| P₂(3,0) | -4 | 3 | 4 > 0 | -3 | -1 |
| P₃(0,2) | -3 | 2 | 1 > 0 | -2 | -1 |
| P₄(1,1) | -2 | -1 | 8 > 0 | -1+√2 ≈ 0.41 | -1-√2 ≈ -2.41 |
| 条件 | 分類 |
|---|---|
| Δ < 0 | サドル点 |
| Δ > 0, τ < 0, τ²>4Δ | 安定ノード |
| Δ > 0, τ > 0, τ²>4Δ | 不安定ノード |
| Δ > 0, τ < 0, τ²<4Δ | 安定スパイラル |
| Δ > 0, τ > 0, τ²<4Δ | 不安定スパイラル |
| Δ > 0, τ = 0 | 中心点 |
漸近安定: 全ての固有値の実部 < 0
⟺ τ < 0 かつ Δ > 0
不安定: 少なくとも1つの固有値の実部 > 0
⟺ τ > 0 または Δ < 0
λ₁ = 3 > 0, λ₂ = 2 > 0（両方正）→ 全方向に発散
λ₁ = -3 < 0, λ₂ = -1 < 0（両方負）→ 全方向から収束
λ₁ = -2 < 0, λ₂ = -1 < 0（両方負）→ 全方向から収束
λ₁ ≈ 0.41 > 0, λ₂ ≈ -2.41 < 0（異符号）→ 不安定
ヌルクラインは相図の「骨格」を与える：
この曲線上では、軌道は垂直に横切る
この曲線上では、軌道は水平に横切る
| 固定点 | 分類 | 安定性 | 物理的解釈 |
|---|---|---|---|
| (0, 0) | 不安定ノード | 不安定 | 両種絶滅状態は不安定 |
| (3, 0) | 安定ノード | 安定 | 種xが種yを競争排除 |
| (0, 2) | 安定ノード | 安定 | 種yが種xを競争排除 |
| (1, 1) | サドル点 | 不安定 | 共存は不安定（双安定系） |
この系は双安定（bistable）である。
初期条件により、種xが勝つ(3,0)か種yが勝つ(0,2)のどちらかに収束する。
共存点(1,1)はサドル点であり、その安定多様体が2つの吸引域の境界（分離線）となる。